PERSAMAAN KONTINUITAS

Persamaan Kontinuitas

Bayangkan  suatu permukaan yang berbatas dalam suatu fluida yang bergerak. Maka, pada umumnya, fluida yang mengalir masuk ke dalam volume yang dilingkupi permukaan tersebut di titik-titik tertentu dan keluar di titik-titik lain. Persamaan Kontinuitas adalah suatu ungkapan matematis mengenaihal bahwa jumlah netto massa yang mengalir ke dalam sebuah permukaan terbatas sama dengan pertambahan massa di dalam permukaan itu.

 

Gambar di atas menunjukkan aliran fluida dari kiri ke kanan ( fluida mengalir dari pipa yang berdiameter besar menuju diameter yang kecil ). Garis putus-putus merupakan garis arus.

Keterangan gambar :

A₁ = luas penampang bagia pipa yang berdiameter besar.

A₂ = luas penampang bagian pipa yang berdiameter kecil.

v₁ = kecepatan aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter besar.

v₂ = kecepatan aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter kecil.

L = jarak tempuh fluida.

Pada fluida dinamis, terdapat beberapa sub bab yang membahas tentang aliran fluida yang tak termampatkan, tak kental, tak berolak dan tunak.

Persamaan Kontinuitas untuk Fluida Tunak

Pada aliran tunak, kecepatan aliran fluida di suatu titik sama dengan kecepatan aliran partikel fluida lain yang melewati titik itu. Aliran fluida juga tidak saling berpotongan ( garis arusnya sejajar ). Karenanya massa fluida yang masuk ke salah satu ujung pipa harus sama dengan massa fluida yang keluar di ujung lainnya. Jika fluida memiliki massa tertentu masuk pada pipa yang berdiameter besar, maka fluida tersebut akan keluar pada pipa yang berdiameter kecil dengan massa yang tetap.

Dari gambar di atas dapat di lihat bagian pipa yag diameternya besar dan bagian pipa yag diameternya kecil. Selama selang waktu tertentu, sejumlah fluida mengalir melalui bagian pipa yang berdiameter besar (A₁) sejauh L₁ (L₁ = v₁t). Volume fluida yang mengalir adalah V₁ = A₁L₁ = A₁v₁t. Nah, selama selang waktu yang sama, sejumlah fluida yang lain mengalir melalui bagian pipa yang diameternya keil (A₂) seauh L₂ (L₂ = v₂t). Volume fluida yang mengalir adalah V₂ = A₂L₂t.

Persamaan Kontinuitas untuk Fluida Tak-termampatkan (incompressible)

Pada fluida tak-termampatkan (incompressible), kerapatan alias massa jenis fluida selalu sama di setiap titik yang dilaluinya.

Massa fluida yang mengalir dalam pipa yang memiliki luas penampang A₁ (diameter pipa yang besar) selama selang waktu tertentu adalah :

 

Demikian juga, massa fluida yang mengalir dalam pipa yang memiliki luas penamang A₂ (diameter pipa yang kecil) selama selang waktu tertentu adalah :

 

Mengingat bahwa dalam aliran tunak, massa fluida yang masuk sama dengan massa fluida yang keluar, maka :

 

                            

(massa jenis fluida dan selang waktu sama sehingga dilenyapkan)

Jadi, pada fluida tak-termampatkan, berlaku persamaan kontinuitas :

 

Keterangan :

A₁ = Luas penampang 1

A₂ = Luas penampang 2

v₁ = Kecepatan aliran fluida pada penampang 1

v₂ = Kecepatan aliran fluida pada penampang 2

Av = Laju aliran volume V/t alias debit

Persamaan 1 menunjukkan bahwa aliran volume alias debit selalu sama pada setiap titik sepanjang pipa/tabung aliran. Ketika penampang pipa mengecil, maka laju aliran fluida meningkat, sebaliknya ketika penampang pipa menjadi besar, laju aliran fluida menjadi kecil.

Persamaan Kontinuitas untuk Fluida Termampatkan (compressible)

Untuk kasus fluida yang termampatkan alias compressible, massa jenis fluida selalu sama. Dengan kata lain, massa jenis fluida berubah ketika dimampatkan. Kalau pada fluida Tak-termampatkan massa jenis fluida tersebut kita lenyapkan dari persamaan, maka pada kasus ini massa jenis fluida tetap disertakan. Dengan berpedoman pada persamaa yang telah diturunkan sebelumnya.

Mengingat bahwa dalam aliran tunak, massa fluida yang masuk sama dengan massa fluida yang keluar, maka :

 

Selang waktu aliran fluida sama sehingga bisa dilenyapkan. Persamaan berubah menjadi :

 

Ini adalah persamaan untuk kasus fluida termampatkan. Bedanya hanya terletak pada massa jenis fluida. Apabila fluida termampatkan, maka jenisnya berubah. Sebaliknya apabila fluida ta terampatkan, massa jenisnya selalu sama sehingga bisa kita lenyapkan.

Persamaan Bernoulli

Dasar dari azaz Bernoulli adalah bagaimana tekanan pada ketinggian yang sama untuk flida yang bergerak ?

Dari konsep fluida statis diperoleh bahwa tekanan fluida sama pada setiap titik yang memiliki ketinggian yang sama. Dan dari konsep fluida dinamis diperoleh bahwa banyaknya fluida yang mengalir melalui pipa kecil maupun besar adalah sama.

Dari kedua konspe diatas, diperoleh bahwa aliran fluida pada pida kecil kecepatannya lebih besar disbanding aliran fluida pada pipa besar. Dan tekanan fluida paling besar terletak pada bagian yang kecepatan alirannya paling kecil, dan tekanan paling kecil terletak pada bagian yang kelajuannya paling besar. Pernyataan ini dikenal dengan azaz Bernoulli.

Hukum Bernoulli

 

Ditinjau dari gambar diatas, maka berdasarkan konsep: usaha – energi mekanik yang melibatkan besaran tekanan p (usaha), besaran kecepatan aliran fluida v (mewakili energi kinetic), dan besaran ketinggian (mewakili energi potensial), Bernoulli menurunkan persamaan matematis, yang dikenal dengan Persamaan Bernoulli, sebagai berikut:

 

Dan atau,

 

Jadi persamaan Bernoulli menyatakan bahwa jumlah dari tekanan, energi kinetic per satuan volume, dan energi potensial persatuan volume memiliki nilai yang sama pada setiap titik sepanjang suatu garis arus.

Aplikasi Hukum Bernoulli

Fluida Tak Bergerak

Jika dilakukan pendekatan untuk kasus fluida diam (v₁ = v₂ = 0), maka persamaan Bernoulli (2.2), menjadi:

 

Jika h₂ – h₁ = h, maka persamaan ini bisa ditulis menjadi :

 

Fluida mengalir dalam pipa mendatar (ketinggian sama)

Jika dilakukan pendekatan untuk kasus fluida mengalir dalam pipa mendatar (h₁ = h₂), maka persamaan Bernoulli menjadi :

 

Teorema  Torricelli

Sebuah bejana tertutup dengan luas penampang besar A₁ berisi zat cair dengan ketinggian h dari dasar bejana. Jika pada dasar bejana dilubangi dengan luas penampang lubang A₂ sangat kecil (A₂ << A₁).

Dengan titik acuan pada dasar bejana, maka h₂ = 0, dank arena lubang (titik 2) berhubungan langsung dengan udara, maka p₂ = p₀ (tekanan udara). Jadi pada teorema Torricelli ini dilakukan pendekatan terhadap persamaan Bernoulli dengan : (1) A₂ << A₁, sehingga v₂ >> v₁, h₁ = h dan h₂ = 0, dan (2) p₂ =p₀. Sehingga diperoleh rumusan Torricelli, sebagai berikut :

 

Massa jenis zat cair sama sehingga     dilenyapkan :

 

Bedasarkan persamaan ini, tampak bahwa laju aliran air pada lubang yang berjarak h dari permukaan wadah sama dengan laju aliran yang jatuh bebas sejauh h.

Tabung Venturi

Secara sederhana dapat dikatakan bahwa tabung venture adalah sebuah pipa yang mempunyai bagian yang menyempit. Sebagai contoh dari tabung enturi adalah: venturimeter, yaitu alat yang dipasang di dalam suatu pipa yang berisi fluida mengakir, untuk mengukur keceptan aliran fluida tersebut.

Venturimeter tanpa monometer

 

Pada gambar di atas. Ketika zat cair melewati bagian pipa yang penampangnya kecil (A₂), laju cairan meningkat. Menurut prinsip Bernoulli, jika laju cairan meningkat, maka tekanan cairan mejadi kecil. Jadi tekanan zat cair pada penampang besar lebih besar dari tekanan zar cair pada penampang kecil (P₁> P₂). Sebaliknya v₂ > v₁.

Persamaannya sebagai berikut :

 

Karena P₁ > P₂ dan v₂ > v₁, maka persamaannya menjadi :

 

Dan dari persamaan kontinuitas, diperoleh :

 

Untuk mencari laju aliran zat cair di penampang besar (v₁). Maka ubah v₂ pada persamaan 1 dengan v₂ pada persamaan 2.

 

Untuk menghitung tekanan fluida pada suatu kedalaman tertentu menggunakan persamaan :

 

Untuk kasus di atas, persamaan ini bisa diganti menjadi :

Sekarang gantia p₁ – p₂ pada persamaan 3, dengan p₁ – p₂ pada persamaan b :

 

Karena zat carir-nya sama maka massa jenisnya juga pasti sama. Lenyapkan r dari persamaan.

 

Tabung Pitot

Tabung Pitot adalah alat yang digunakan untuk mengukur kelajua gas, yang terdiri dari suatu tabung : tabung luar dengan dua lubang (1) dan tabung dalam dengan satu lubang (2) yang dihubungkan dengan monometer. Aliran airan udara yang masuk melalui lubang (1) dan (2) menuju monometer, sehingga terjadi ketinggian h zat cair dalam monometer (air raksa, Hg).

 

                                                         

Aliran gas/udara yang melalui tabung dalam semakain kekanan berkurang sehingga terhenti,ketika sampai pada lubang (2), karena kuang tabung tegak lurus terhadap monoeter, sehingga v₂ = 0. beda ketinggian anatra lubrang (1) dan (2) dapat diabaikan, sehingga h_a – h_b = 0. Dengan menggunakan persamaan Bernoulli, diperoleh :

 

          Dan beda tekanan titik (2) dan (1) karenaterjadinya perbedaan ketinggian zat cair/hg pada monoeter sama dengan tekanan hidrostatis :

 

Jadi, dengan modifikasi 2 persamaan diatas, akan diperoleh kelajuan gas/udara :

 

Gaya Angkat Sayap Pesawat Terbang

 

Ada empat macam gaya yang bekerja pada sebuah pesawat terbang yang sedang mengalami perjalanan di angkasa, diataranya :

-          Gaya angkat (Fa), yang dipengaruhi oleh desain pesawat.

-          Gaya berat (W), yang dipengaruhi oleh gravitasi bumi.

-          Gaya dorong (f_d), yang dipengaruhi oleh gesekan udara.

-          Gaya hambat (f_g), yang dipengaruhi oleh gesekan udara.

Tinjau dengan hukum Bernoulli :

-          Laju aliran udara pada sisi atas pesawat (v₂) lebih beswar disbanding laju aliran udara pada sisi bawah pesawat (v₁). Maka sesuai dengan azas Bernoulli, maka tekanan udara pada sisi bawah pesawat (p₁) lebih besat dari tekanan udara pada sisi atas pesawat (p₂).

-          Syarat agar pesawat bisa terangkat, maka gaya angkat pesawat (Fa) harus lebih besar dari gaya berat (W=mg), Fa > mg. Ketika sudah mencapai ketinggian tertentu, untuk mempertahankan ketinggian pesawat, maka harus diatur sedemikian sehingga : Fa = mg.

-          Jika pesawat ingin begerak mendatar dengan percepatan tertentu, maka : gaya dorong harus lebih besar dari gaya hambat (f_d > f_g), dan gaya angkat harus sama dengan gaya berat, (Fa=mg).

-          Jika pesawat ingin naik/menambah ketinggia yang tetap, maka gaya dorng harus sama dengan gaya abat (f_d = f_g), dan gaya angkat harus sama denga gaya berat (Fa=mg).

Aliran Viscous (Kental)

          Aliran vicous adalah aliran dengan kekentalan, atau sering disebut aliran fluida pekat. Kepekatan fluida ini tergantung pada gesekan antara beberapa partikel penyusun fluida. Di samping itu juga gesekan antara fluida itu sendiri dengan tempat terjadinya aliran tersebut. Untuk aliran air lebih didekatkan pada aliran dengan kekentalan yan rendah, sehingga aliran air dapat berada pada aliran non vicous.

Arus tidak lagi stationer dan ada beda kecepatan tiap arus sehingga disebut Aliran Laminer. Lapisan akan menarik lapisan dibawahnya dengan gaya F

 

     = koefisien viskositas, satuannya                                  atau centi-poise (c.p)

                

        adalah gradient kecepatan, bila homogen maka menjadi    dengan d jarak antara dua keping.

Ukuran kekentalan sering juga dalam bilangan SAE (Society of Automotive Engineers).

SAE 10 artinya h = 160 – 220 c.p,

SAE 20 artinya h = 230 – 300 c.p dan

SAE 30 artinya h = 360 – 430 c.p

Cara menentukan h

Salah satu cara untuk menentukan nilai h suatu fluida dapat digunakan dengan menggunakan Persamaan Stokes yaitu sebuah bola kecil dengan jari – jari r, kerapatan rb dijatuhkan dalam fluida, rf yang akan ditentukan nilai h.

 

Pada saat kesetimbangan berlaku G – B – F_r = 0 dengan

F_r = gaya gesek bola yaitu          

 

                                           

G = massa bola   

 

                         

B = gaya apung

Maka nilai koefisien viskositas adalah

 

Lampiran

Soal – soal Latihan

1.         Tinjau sebuah pipa yang panjang, memiliki tiga penampang yang berbeda (lihat gambar). Luas penampang bagian 1, 2, dan 3 berturut - turut adalah 150 cm², 100 cm ², dan 300 cm². Jika kelajuan air yang melalui bagian 1 adalah 10 m/s, tentukan :

a.      Volume air yang melalui bagian 2 dan 3 per sekon

b.     Kelajuan air yang melalui bagian 2 dan 3

 

2.         Sebuah wadah diisi dengan air hingga kedalaman H = 2,8 m. Wadah tersebut ditutup dengan kuat, tapi diatas air masih ada ruang udara dengan tekanan 1,36 x 10⁵ Pa. Jika sebuah lubang terdapat pada wadah terletak pada ketinggian 0,6 m diatas wadah.

a.      Hitung berapa kecepatan awal air keluar dari lubang

b.     Jika tutup atas wadah bocor sehingga udara diatas terbuka hitung kecepatan awal air tersebut keluar dari lubang

 

3.         Laju aliran gas dalam pipa dapat diukur dengan menggunakan tabung pitot. Bila diketahui beda ketinggian air raksa dalam monometer adalah 30 mm. Jika massa jenis gas adalah 3,69 x 10³ kg/m³, maka :

a.      Tulis rumus kecepatan aliran gas

b.     Berapa besar laju v gas tersebut

4.         Sebuah alat venture meter digunakan seorang siswa untuk mengukur kecepatan air dalam pipa. Ternyata perbedaan tinggi air pada pipa penampang besar dan kecil 10 cm. Jika perbandingan luas penampang besar dan kecil adalah 3:1. Berapa kecepatan aliran air pada penampang yang besar dan kecil.

Penutup

Rangkuman

1. Persamaan kontinuitas fluida ideal dinyatakan dengan

                         (a). A₁ v₁ = A₂ v₂ = konstan

                         (b). Q₁ = Q₂ = konstan

2. Azaz Benoulli menyatakan bahwa : pada pipa mendatar, tekanan paling besar adalah pada bagian yang kelajuan aliran fluidanya paling kecil, dan sebaliknya tekanan paling rendah terjadi pada bagian yang kelajuannya paling besar.

3. Persamaan Bernoulli menyatakan bahwa jumlah dari tekanan, energi kinetik per satuan volume, dan energi potensial persatuan volume memiliki nilai yang sama pada setiap titik sepanjang suatu gars arus. Dan dinyatakan dengan persamaan matematis sebagai berikut :

                       

4. Dari Persamaan Bernoulli, jika dilakukan pendekatan untuk kasus fluida diam (v₁ = v₂ = 0), maka persamaan Bernoulli menjadi :

 

5. Dari Persamaan Bernoulli, jika dilakukan pendekatan untuk kasus fluida mengalir dalam pipa mendatar (h₁ = h₂), maka persamaan Bernoulli, menjadi :

 

                       

6. Kecepatan zat cari yang keluar dari lubang bocoran bejana tertutup yang berisi zat cair dengan ketinggian permukaan h, sama seperti kecepatan benda jatuh bebas dari ketinggian h.

                       

7. Laju aliran cairan dalam tabung yang diukur dengan venturimeter tanpa monometer :

 

                       

8. Besarnya gaya angkat pesawat, bergantung pada desain sayap peswat. Desain pesawat harus sedemikian, misalnya model aerofil, sehingga dihasilkan laju aliran udara diatas pesawat sangat besar dibanding laju udara di bawah pesawat, sehingga gaya angkatnya besar. Gaya angkat pesawat diturunkan dari persamaan Bernoulli.